คณิตเสริม

ารแจกแจงความถี่ของข้อมูล

หลังจากที่กำหนดตัวแปรที่ต้องการศึกษา และมีการเก็บรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับตัวแปรที่ต้องการศึกษาแล้ว ข้อมูลที่เก็บได้เรียกว่า ข้อมูลดิบ (Raw Data) เช่น ต้องการศึกษาผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาสถิติ ก็จะมีการสร้างแบบทดสอบวิชาสถิติขึ้นมา นาไปสอบกับกลุ่มนักเรียนที่ต้องการวัด แล้วตรวจคะแนน คะแนนที่ได้เรียกว่า ข้อมูลดิบ (Raw Data) หรือคะแนนดิบ ซึ่งข้อมูลดิบนี้ยังไม่มีความหมายอะไร วิธีเบื้องต้นที่จะทำให้ข้อมูลดิบนั้นมีความหมายคือการแจกแจงความถี่ ซึ่งจะสามารถทำให้ข้อมูลนั้นสามารถเอาไปใช้ได้ง่ายขึ้น และสังเกตการเปลี่ยนแปลงต่างๆได้ง่ายขึ้นด้วย ความหมายของการแจกแจงความถี่คือการนำข้อมูลที่รวบรวมมาได้มาจัดใหม่ให้เป็นระเบียบ เป็นหมวดหมู่เรียงจากมากไปน้อยหรือเรียงจากน้อยไปมากเพื่อแสดงให้ทราบว่าข้อมูลแต่ละค่าหรือข้อมูลแต่ละกลุ่มเกดขึ้นซ้ำๆกันกี่ครั้งซึ่งเป็นการย่อข้อมูลเพื่อให้แปลความหมายได้มากขึ้นโดยต้องสร้างตาตารางแจกแจงความถี่ขึ้น     ตัวอย่างที่ 1 ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งจานวน 50 คน เป็นดังนี้ 70 51 80 63 84 64 85 53 62 74 42 62 73 76 52 51 64 88 65 78 77 48 81 42 65 77 54 65 56 68 64 58 61 74 43 44 66 55 59 78 60 47 63 48 68 73 50 69 54 89 ถ้านาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มากาหนดเป็นช่วงๆ แล้วนับจานวนนักเรียนที่สอบได้ในแต่ละช่วงซึ่งเรียกว่า ความถี่ จะได้ตารางที่เรียกว่า ตารางแจกแจงความถี่ ดังนี้ ตารางแจกแจงความถี่    คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์  ความถี่ 41-50 8 51-60 11 61-70 16 71-80 10 81-90 5         จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น แสดงว่า มีนักเรียนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 41 ถึง 50 จานวน 8 คน มีนักเรียนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 51 ถึง 60 จานวน 11 คน มีนักเรียนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 61 ถึง 70 จานวน 16 คน มีนักเรียนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 71 ถึง 80 จานวน 10 คน มีนักเรียนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 81 ถึง 90 จานวน 5 คน                     ตารางแจกแจงความถี่ มีส่วนประกอบต่างๆ ดังนี้             1. อันตรภาคชั้น (Class Interval) หมายถึง ช่วงคะแนนที่แบ่งออกเป็นช่วงๆ ในแต่ละช่วงคือค่าที่ เป็นไปได้ของข้อมูล จากตะรางแจกแจงความถี่ข้างต้น แสดงว่า                                                 ช่วงคะแนน 41 – 50 คือ อันตรภาคชั้นที่ 1                                                 ช่วงคะแนน 51 – 60 คือ อันตรภาคชั้นที่ 2                                                 ช่วงคะแนน 61 – 70 คือ อันตรภาคชั้นที่ 3                                                 ช่วงคะแนน 71 – 80 คือ อันตรภาคชั้นที่ 4                                                 ช่วงคะแนน 81 – 90 คือ อันตรภาคชั้นที่ 5                2. ขอบบน ขอบล่าง (Upper – Lower Boundary) ขอบบน ของอันตรภาคชั้นใด หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่เป็นไปได้สูงสุดของอันตรภาคชั้นนั้น กับค่าที่ เป็นไปได้ต่ำสุดของอันตรภาคชั้นติดกันถัดไป เช่น ขอบบนของอันตรภาคชั้น 41 – 50 คือ 50+51 / 2  = 50.5   ขอบบนของอันตรภาคชั้น 51 – 60 คือ  60+61 / 2 = 60.5  เป็นต้น ขอบล่าง ของอันตรภาคชั้นใด หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่เป็นไปได้ต่าสุดของอันตรภาคชั้นนั้น กับค่าที่ เป็นไปได้สูงสุดของอันตรภาคชั้นที่อยู่ติดกันก่อนหน้านั้น เช่น ขอบล่างของอันตรภาคชั้น 51 – 60 คือ  51+50 / 2 = 50.5 ขอบล่างของอันตรภาคชั้น 61 – 70 คือ 60+61 / 2 = 60.5 เป็นต้น   ข้อสังเกต 1. ขอบบนของแต่ละอันตรภาคชั้น เท่ากับ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่า 1 ชั้น 2. การหาขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้น ทำได้โดย ลบค่าต่ำสุดของชั้นด้วย 0.5 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นจานวนเต็ม ลบค่าต่ำสุดของชั้นด้วย 0.05 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม 1 ตาแหน่ง ลบค่าต่ำสุดของชั้นด้วย 0.005 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม 2 ตาแหน่ง เป็นต้น 3. ในทานองเดี่ยวกัน การหาขอบบนของแต่ละอันตรภาคชั้น ทาได้โดย บวกค่าต่ำสุดของชั้นด้วย 0.5 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นจานวนเต็ม บวกค่าต่ำสุดของชั้นด้วย 0.05 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม 1 ตาแหน่ง บวกค่าต่ำสุดของชั้นด้วย 0.005 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม 2 ตาแหน่ง เป็นต้น จากตารางแจกแจงความถี่ขางต้น สามารถนำมาแสดงขอบบน ขอบล่างได้ดังนี้  อันตรภาคชั้น   ขอบบน   ขอบล่าง  41-50  50.5  40.5  51-60  60.5  50.5  61-70  70.5  60.5  71-80  80.5  70.5  81-90  90.5  80.5   ตัวอย่างที่ 2 ตารางแจกแจงความถี่ที่อันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม  อันตรภาคชั้น   ความถี่  10.5-11.7  6  11.8-13.0  12  13.1-14.3  7  14.4-15.6 11  15.7-15.9  4 จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น สามารถนามาแสดงขอบบน ขอบล่าง ได้ดังนี้  อันตรภาคชั้น  ขอบบน  ขอบล่าง  10.5-11.7  11.7 + 0.05 = 11.75  10.5-.05 = 10.45  11.8-13.0  13.0 + 0.05 = 13.05  11.8-.05 = 11.75  13.1-14.3  14.3 + 0.05 = 14.35  13.1-.05 = 13.05  14.4-15.6  15.6 + 0.05 = 15.65  14.4-.05 = 14.35  15.7-15.9  15.9 + 0.05 = 15.95  15.7-.05 = 15.65 ข้อสังเกต ขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากับขอบบนของอันตรภาคชั้นที่อยู่ติดกันเป็นช่วงคะแนนน้อยกว่า 3. ความกว้างของอันตรภาคชั้น (Class Interval) คือ ผลต่างของขอบบนและขอบล่างของอันตรภาคชั้นนั้น นิยมเขียนแทนด้วย I เช่น อันตรภาคชั้น 41 – 50 มีความกว้าง = 40.5 – 50.5 = 10 อันตรภาคชั้น 51 – 60 มีความกว้าง = 50.5 – 60.5 = 10 เป็นต้น ข้อสังเกต 1. ความกว้างของอันตรภาคชั้นแต่ละชั้นไม่จาเป็นต้องเท่ากันทุกชั้น แต่ถ้าความกว้างเท่ากันทุกชั้นจะทาให้สะดวกในการวิเคราะห์ 2. ในกรณีที่มีข้อมูลบางข้อมูลมีค่าน้อยกว่าข้อมูลอื่นๆมาก หรือมีค่ามากกว่าข้อมูลอื่นๆมาก หรือมีทั้งค่าน้อยกว่าและมากกว่าข้อมูลอื่นๆมากๆ จะใช้อันตรภาคชั้นที่เรียกว่า อันตรภาคชั้นเปิด (Open end class interval) วิธีหาความกว้างของอันตรภาคชั้นข้างต้นใช้ได้ โดยไม่จากัดว่าความกว้างของอันตรภาคชั้นจะเท่ากันหรือไม่  ตัวอย่างที่ 3 ตารางแจกแจงความถี่ที่ความกว้างของอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน  อันตรภาคชั้น  ความถี่  31-40  8  41-60  6  61-90  9  91-100  10 ตัวอย่างที่ 4 ตารางแจกแจงความถี่ที่มีอันตรภาคชั้นเป็นอันตรภาคชั้นเปิด  อันตรภาคชั้น  ความถี่  น้อยกว่า 30  40  30-39  18  40-49  22  50-59  13  มากกว่า 59  7             4. จุดกึ่งกลาง (Mid point) จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นใด คือ ค่าเฉลี่ยของช่วงคะแนนในอันตรภาคชั้นนั้นๆ จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นใด = (ขอบบน + ขอบล่าง) / 2 (ของอันตรภาคชั้นนั้นๆ)             5. ความถี่ (Frequency) ความถี่ของอันตรภาคชั้นใด หมายถึง จานวนข้อมูล (ค่าจากการสังเกต) ที่ ปรากฏอยู่ในช่วงคะแนนหรืออันตรภาคชั้นนี้

ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Table)

---

     ในการเก็บรวมรวมข้อมูล แต่ละคนที่เก็บรวบรวมข้อมูลมีการจัดเก็บข้อมูลที่ไม่เหมือนกัน นั่นคือ บางคนอาจจะเก็บข้อมูลเป็นตัว ๆ ไม่มีการจัดหมวดหมู่ หรือ บางคนอาจจะมีการจัดเรียงข้อมูลเป็นหมวดหมู่เรียบร้อยแล้ว เราจึงแยกการจัดเก็บข้อมูลเป็น 2 แบบ คือ ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ และ ข้อมูลแจกแจงความถี่

ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่เป็นข้อมูลที่จะต้องมาเป็นตัว ๆ บอกได้ทันทีว่าตัวไหนมีค่าเป็นเท่าใด เช่น ข้อมูลคือ 1 , 1 , 5 , 7 , 8 , 11 , 151,1,5,7,8,11,15มีข้อมูล 77 ตัว โดยที่บอกได้ทันทีว่าตัวที่ 55 มีค่าเป็น 88 เป็นต้น

ข้อมูลแจกแจงความถี่

ข้อมูลแจกแจงความถี่จะเป็นข้อมูลที่มีการแบ่งเป็นช่วง ๆ ไม่สามารถบอกได้ว่าแต่ละตัวมีค่าเท่าใด เช่น

คะแนน	จำนวน นักเรียน
21 – วันที่ 3021-30	55
วันที่ 31 – 40วันที่ 31-40	22

จะไม่สามารถบอกได้ว่าคนที่ 33 ได้คะแนนเป็นเท่าไหร่กันแน่ อาจจะได้ 2525 หรือ 2727 หรือ 2323 หรือค่าอื่นๆ  ในช่วง 21 – วันที่ 3021-30 และข้อมูลแบบแจกแจงความถี่นั้นมักจะเขียนมาในรูปแบบตารางเสมอ

แต่ตารางแจกแจงความถี่บางประเภทอาจจะไม่ได้เขียนอยู่ในรูปแบบช่วง เช่น

คะแนน	จำนวน
1515	22
2020	55
2525	77

ตารางนี้เป็นตารางแจกแจงความถี่แต่สามารถบอกได้ทันทีว่าคนที่ 66 ได้ 2020 คะแนน รวมทั้งคนอื่น ๆ ก็สามารถบอกได้ทันทีเหมือนกันว่าได้คะแนนเท่าใด ดังนั้นเวลาคำนวนค่าต่าง ๆ ให้คำนวนเหมือนกับข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

ตารางแจกแจงความถี่

เมื่อเรารู้จักข้อมูลแจกแจงความถี่แล้ว เราจะต้องมาทำความเข้าใจกับตารางแจกแจงความถี่ด้วย ซึ่งสิ่งที่เราจะต้องรู้มีดังนี้

จากตารางการแจกแจงความถี่ต่อไปนี้

คะแนน	จำนวน นักเรียน
21 – วันที่ 3021-30	22
วันที่ 31 – 40วันที่ 31-40	55
41 – 5041-50	1010
51 – 6051-60	1313
61 – 7061-70	55

1. อันตรภาคชั้น คือ แต่ละช่วงที่เห็นในตาราง เช่น ช่วง 21 – วันที่ 3021-30 เป็นช่วงแรก ดังนั้นช่วงนี้ถือเป็นอันตรภาคชั้นที่ 11 ในทำนองเดียวกันจะได้ว่าตารางนี้มีทั้งหมด 55 อันตรภาคชั้น
2. ขอบบน – ขอบล่าง  ในการหาขอบบนและขอบล่างของแต่ละชั้นนั้นหาได้ดังนี้

ขอบล่างขอบบน==ค่าน้อยสุดของชั้นนั้น+ค่ามากสุดของชั้นก่อนหน้า2ค่ามากสุดของชั้นนั้น+ค่าน้อยสุดของชั้นถัดไป2ขอบล่าง=ค่าน้อยสุดของชั้นนั้น+ค่ามากสุดของชั้นก่อนหน้า2ขอบบน=ค่ามากสุดของชั้นนั้น+ค่าน้อยสุดของชั้นถัดไป2

เช่น
ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ 33 คือ 41 + 402= 40.541+402=40.5
และ ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 33 คือ 50 + 512= 50.550+512=50.5

แต่ปัญหาคือจะหาขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ 11 ได้ยังไง วิธีการคือให้เราสมมุติชั้นที่อยู่ก่อนชั้นที่ 11 ขึ้นมา แต่การสมมุตินั้นจะต้องอยู่ในรูปแบบเดียวกับชั้นอื่น ๆ ในกรณีนี้ชั้นที่ 00 คือ 11 – 2011-20 หลังจากนั้นก็ใช้วิธีเดิมได้เลย

ทำนองเดียวกันเราสามารถหาขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 55 ด้วยวิธีการเดียวกัน

3. ความกว้างอัตรภาคชั้น คือ

ความกว้างอันตรภาคชั้น=ขอบบน−ขอบล่างความกว้างอันตรภาคชั้น=ขอบบน-ขอบล่าง

ดังนั้นในตัวอย่างนี้ความกว้างอันตรภาคชั้นที่ 33 คือ 50.5 – 40.5 = 1050.5-40.5=10
4. จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น คือ

จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น=ขอบบน+ขอบล่าง2จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น=ขอบบน+ขอบล่าง2

เช่น จุดกึ่งกลางชั้นของอันตรภาคที่ 33 คือ 50.5 + 40.52= 45.550.5+40.52=45.5
5. ความถี่  คือ จำนวนของสิ่งที่เราสนใจที่อยู่ในแต่ละชั้น ในกรณีนี้คือจำนวนนักเรียนในแต่ละชั้น ดังนั้น ความถี่ในชั้นที่ 33 ( F3)(F3) คือ 1010

คะแนน	จำนวน นักเรียน
21 – วันที่ 3021-30	22
วันที่ 31 – 40วันที่ 31-40	55
41 – 5041-50	1010
51 – 6051-60	1313
61 – 7061-70	55

6. ความถี่สะสมของแต่ละชั้น คือ จำนวนของสิ่งที่เราสนใจที่รวมมาตั้งแต่ชั้นแรกจนถึงชั้นนั้น ดังนั้น ความถี่สะสมในชั้นที่ 33 ( F3)(F3) คือ

2 + 5 + 10 = 172+5+10=17

คะแนน	จำนวน นักเรียน	ความถี่สะสม ( Fผม)(Fผม)
21 – วันที่ 3021-30	22	22
วันที่ 31 – 40วันที่ 31-40	55	77
41 – 5041-50	1010	1717
51 – 6051-60	1313	3030
61 – 7061-70	55	3535

 สูตรต่าง ๆ ของตารางแจกแจงความถี่นั้นเป็นสูตรที่จะใช้ได้ต้องเรียงจากชั้นที่มีค่าน้อยที่สุดไปมากที่สุด เพราะฉนั้นอย่าลืมตรวจสอบด้วยว่าข้อมูลที่ให้มาเรียงถูกต้องแล้วหรือยัง

 ตารางแจกแจงความถี่ที่เรียงจากค่ามากไปค่าน้อย

สมมุติข้อมูลที่กำหนดให้คือ

คะแนน	จำนวน นักเรียน
51 – 5551-55	55
46 – 5046-50	1313
41 – 4541-45	1010
36 – 4036-40	55
วันที่ 31 – 35วันที่ 31-35	22

 

เมื่อเจอข้อมูลที่เรียงจากมากไปน้อย ปกติเราจะนับอันตรภาคชั้นจากชั้นบนสุดมาล่างสุด ให้เปลี่ยนเป็นนับจากชั้นล่างสุดมาบนสุด แล้วชั้นไหนอยู่ก่อนหรือหลังให้ใช้หลักเกณฑ์จากอันตรภาคชั้น นั่นคือ อันตรภาคชั้นที่ 11 อยู่ก่อนอันตรภาคชั้นที่ 22 และอันตรภาคชั้นที่ 33 อยู่หลังอันตรภาคชั้นที่ 22 จะได้

คะแนน	จำนวน นักเรียน FผมFผม	อันตรภาค ชั้นที่	ขอบล่าง	ขอบบน
51 – 5551-55	55	55	51 + 502= 50.551+502=50.5	55 + 562= 55.555+562=55.5
46 – 5046-50	1313	44	45.545.5	50.550.5
41 – 4541-45	1010	33	40.540.5	45.545.5
36 – 4036-40	55	22	35.535.5	40.540.5
วันที่ 31 – 35วันที่ 31-35	22	11	30.530.5	35.535.5

คะแนน	จำนวน นักเรียนfi FผมFผม	ความกว้าง ผมผม	จุดกึ่งกลาง xผมxผม	ความถี่สะสม FผมFผม
51 – 5551-55	55	55.5 – 50.5 = 555.5-50.5=5	55.5 + 50.52= 5355.5+50.52=53	55
46 – 5046-50	1313	55	4848	5 + 13 = 185+13=18
41 – 4541-45	1010	55	4343	2828
36 – 4036-40	55	55	3838	3333
วันที่ 31 – 35วันที่ 31-35	22	55	3333	3535

การหาค่ากลางของข้อมูล

การหาค่ากลางของข้อมูลที่เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุปเรื่องราวเกี่ยวกับข้อมูลนั้นๆ จะช่วยทำให้เกิดการวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องดีขึ้น  การหาค่ากลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี  แต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสีย  และมีความเหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกัน  ขึ้นอยู่กับลักษณะข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้นๆ

 

ค่ากลางของข้อมูลที่สำคัญ  มี 3  ชนิด คือ

1.      ค่าเฉลี่ยเลขคณิต    (Arithmetic mean)
2.      มัธยฐาน    (Median)
3.      ฐานนิยม             (Mode)

 

1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต(Arithmetic mean)

การหาค่ากลางของข้อมูล

การหาค่ากลางของข้อมูลที่เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุปเรื่องราวเกี่ยวกับข้อมูลนั้นๆ จะช่วยทำให้เกิดการวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องดีขึ้น  การหาค่ากลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี  แต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสีย  และมีความเหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกัน  ขึ้นอยู่กับลักษณะข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้นๆ

 

ค่ากลางของข้อมูลที่สำคัญ  มี 3  ชนิด คือ

1.      ค่าเฉลี่ยเลขคณิต    (Arithmetic mean)
2.      มัธยฐาน    (Median)
3.      ฐานนิยม             (Mode)

วิดีโอ

• การแจกแจงความถี่

• การวักค่ากลางของข้อมูล

ขอขอบคุณข้อมูลและวิดีโอจาก

• https://sites.google.com/site/sthitiit63/kar-wikheraah-khxmul-beuxng-tn/kar-caekcaeng-khwamthi-khxng-khxmul
• https://www.opendurian.com/learn/frequency_table/
• https://www.youtube.com/watch?v=H6P6Z0Oi2d4